So berechnen Sie die axiale Steifigkeit und den Positionierungsfehler einer Kugelumlaufspindel unter Last

Eine Kugelumlaufspindel kann zwar über eine ausreichende Tragfähigkeit und einen ausreichend hohen Genauigkeitsgrad verfügen, bei axialer Belastung jedoch dennoch messbare Positionierungsfehler verursachen. Dies liegt daran, dass sich die Spindelwelle, die Kugelmutter, die Stützlager und die Montagestruktur elastisch verformen, wenn Kraft durch das Vorschubsystem übertragen wird.

Die axiale Steifigkeit der Kugelumlaufspindel beschreibt, wie stark das Gesamtsystem dieser Verformung standhält. Sie wird üblicherweise in N/μm oder N/mm ausgedrückt. Eine höhere Steifigkeit bedeutet eine geringere elastische Verschiebung bei gleicher Axialkraft.

In diesem Artikel wird erläutert, wie Sie die Steifigkeit einer Schraubenwelle-berechnen, die Steifigkeit mehrerer Komponenten kombinieren und den resultierenden Positionierungsfehler abschätzen. Außerdem wird erläutert, warum die Position der Mutter und die Anordnung der Endauflagen in die Berechnung einbezogen werden müssen.

Axiale Steifigkeit und elastische Verschiebung

Für eine Komponente, die innerhalb ihres elastischen Bereichs arbeitet, kann die axiale Steifigkeit ausgedrückt werden als:

K = F ÷ δ

Die entsprechende elastische Verschiebung beträgt:

δ = F ÷ K

Wo:

• K= axiale Steifigkeit
• F= angewendete Axialkraft
• δ= elastische axiale Verschiebung

Wenn die Steifigkeit in N/μm und die Kraft in Newton eingegeben wird, erfolgt die resultierende Verschiebung in Mikrometern.

Beispielsweise hat ein Bauteil mit einer Steifigkeit von 200 N/μm, das einer Axialkraft von 2.000 N ausgesetzt ist, eine ideale elastische Verschiebung von:

δ = 2,000 ÷ 200 = 10 μm

Diese Verschiebung ist elastisch: Sie sollte sich bei Entlastung weitgehend erholen, sofern das Bauteil innerhalb seines zulässigen Belastungsbereichs bleibt. Es unterscheidet sich von der dauerhaften Verformung, die durch Überlastung verursacht wird.

Das komplette Vorschubsystem bestimmt die axiale Steifigkeit

Die Axialkraft in einer Kugelumlaufspindelachse durchläuft normalerweise mehrere verformbare Komponenten:

1. Schraubenschaft
2. Kontakte zwischen Kugelmutter und Kugel-zu-Laufbahn
3. Feste -Endstützlager
4. Mutternhalterung und Lagergehäuse
5. Maschinengestell und beweglicher Tisch

Betrachtet man diese Komponenten als in Reihe geschaltete Federn, addieren sich ihre einzelnen elastischen Auslenkungen:

δ_System = δ_schrauben + δ_Nuss + δ_Lager + δ_montieren

Die äquivalente Systemsteifigkeit beträgt:

1/K_System = 1/K_schrauben + 1/K_Nuss + 1/K_Lager + 1/K_montieren

Diese Beziehung zeigt, warum der Einbau einer sehr steifen Komponente nicht automatisch eine steife Achse erzeugt. Die Komponente mit der geringsten Steifigkeit kann die Gesamtverformung dominieren.

So berechnen Sie die axiale Steifigkeit einer Schraube-Welle

Die axiale Steifigkeit eines Wellenabschnitts einer Stahlschraube-wird berechnet aus:

K_schrauben = A × E ÷ L

Wo:

• A=effektiver Wellenquerschnitt-Querschnittsfläche in mm²
• E= Elastizitätsmodul des Schaftmaterials in N/mm²
• L= effektive Ladelänge in mm
• K_schrauben= Wellensteifigkeit in N/mm

Für Stahl ist ein häufig verwendeter Wert:

E ≈ 206.000 N/mm²

Um das Ergebnis in N/μm auszudrücken:

K (N/μm)=K (N/mm) ÷ 1.000

Verwenden Sie den Wurzeldurchmesser, nicht den Nenndurchmesser

Eine Kugelumlaufspindel ist kein Vollzylinder mit einem Durchmesser, der der Nenngröße seines Modells entspricht. Die spiralförmige Laufbahn verringert die effektive Querschnittsfläche. Für eine erste Berechnung sollte daher der Gewindekerndurchmesser bzw. Kerndurchmesser verwendet werden.

Die ungefähre effektive Querschnittsfläche beträgt:

A = πd_r² ÷ 4

Wo:

• d_r= Schraube-Wellengrund- oder Gewinde-Minderdurchmesser
• A= effektive Querschnittsfläche-

Bei Verwendung des Nennaußendurchmessers wird die Steifigkeit der Schraubenwelle überschätzt. Der Wurzeldurchmesser sollte nach Möglichkeit der Herstellerzeichnung oder den technischen Daten entnommen werden.

Die unterstützte Steifigkeit der Kugelumlaufspindel wurde behoben.-Behoben

Bei einer fest-gelagerten Anordnung bestimmt das Fest-Endlager normalerweise die axiale Position der Schraube. Das gestützte Ende bietet hauptsächlich radialen Halt und nimmt axiale Ausdehnung auf.

Für die axiale Steifigkeit ist die effektive belastete Länge im Allgemeinen der Abstand zwischen der Referenzposition des festen -Endlagers und der Kugelmutter:

K_schrauben = A × E ÷ L_n

Hier,L_nändert sich, wenn sich die Mutter bewegt. Daher ist die Steifigkeit der Schraubenwelle über den Hub nicht konstant.

Wenn die Mutter nahe am Festlager liegt, ist der belastete Wellenabschnitt kurz und die Steifigkeit hoch. Je weiter sich die Mutter entfernt, desto größer wird die belastete Länge und die Steifigkeit nimmt ab.

Diese positionsabhängige Verformung kann zu einem systematischen Positionierungsunterschied entlang der Achse führen, insbesondere bei langen vertikalen Achsen oder Maschinen, die eine erhebliche Prozesslast tragen.

Behoben-Die Steifheit der Kugelumlaufspindel wurde korrigiert

Bei einer idealen festen -festen Anordnung sorgen beide Enden für eine axiale Begrenzung. Die Wellenabschnitte auf beiden Seiten der Mutter können der Mutterlast standhalten.

Wenn:

• L₁= Abstand von der Mutter zum ersten Festlager
• L₂= Abstand von der Mutter zum zweiten Festlager

die beiden Wellenabschnitte wirken etwa wie parallele Axialfedern:

K_schrauben= AE/L₁+ AE/L₂

Dies kann auch geschrieben werden als:

K_schrauben= AE(L₁ + L₂) ÷ (L₁L₂)

Die Formel geht davon aus, dass beide Enden eine wirksame axiale Sicherung bieten und dass die Lager, Gehäuse und die Maschinenstruktur ausreichend steif sind. Ein System, das nur an beiden Enden mechanisch fixiert erscheint, verhält sich möglicherweise nicht wie eine ideale feste -feste Anordnung.

Eine feste -feste Montage kann die axiale Steifigkeit und die Leistung bei kritischen{1}}Geschwindigkeiten verbessern, aber Lagervorspannung, Wärmeausdehnung und Montagegenauigkeit erfordern eine sorgfältigere Kontrolle.

Axiale Steifigkeit der Kugelmutter

Die Steifigkeit der Kugelmutter entsteht hauptsächlich durch den elastischen Kontakt zwischen den Kugeln und den Laufbahnen. Aus den Außenabmessungen der Mutter allein kann sie nicht genau berechnet werden.

Es sollten der Katalog oder die Testdaten des Mutternherstellers verwendet werden, da die Steifigkeit der Kugelmutter abhängt von:

• Kugeldurchmesser
• Anzahl der geladenen Bälle
• Laufbahngeometrie
• Kontaktwinkel
• Struktur mit Einzel--Mutter oder Doppel--Mutter
• Vorspannungsniveau
• Angewandte Axiallast

Der Kontakt zwischen Kugel- und-Laufbahn ist nicht perfekt linear. Der Steifigkeitswert kann sich je nach Vorspannung und aufgebrachter Last ändern. Daher sollte ein Katalogsteifigkeitswert unter den vom Hersteller definierten Bedingungen verwendet werden und nicht als Konstante betrachtet werden, die bei jeder Belastung gültig ist.

Vorspannung kann das Axialspiel verringern und die Steifigkeit der Mutter erhöhen, eine übermäßige Vorspannung erhöht jedoch auch das Laufdrehmoment, die Wärmeentwicklung und die innere Ermüdungsbelastung.

Zum strukturellen Unterschied zwischen Nusstypen sieheEinzel--Mutter vs. Doppel--Kugelgewindetriebe.

Axiale Steifigkeit des Stützlagers

Der Festlagersatz überträgt die Axialkraft von der Spindelwelle auf das Lagergehäuse und die Maschinenstruktur. Seine Verformung muss in ein hochpräzises Zuführsystem einbezogen werden.

Die Lagersteifigkeit-hängt ab von:

• Lagertyp und -größe
• Kontaktwinkel
• Anzahl und Anordnung der Lager
• Lagervorspannung
• Passt zwischen Lager, Welle und Gehäuse
• Installation der Sicherungsmutter

Eine generische Lagersteifigkeit sollte nicht nur auf der Grundlage des Codes der Stütz-einheit zugewiesen werden. Verwenden Sie die axialen Steifigkeitsdaten des Lagerherstellers oder erfragen Sie den Wert beim Lieferanten der Stützeinheit.

Auch das Festlager und das Gehäuse müssen korrekt eingebaut sein. Ein nominell starrer Lagersatz kann sich dennoch bewegen, wenn Sicherungsmutter, Schulter, Gehäuse oder Befestigungsschrauben nicht ordnungsgemäß kontrolliert werden.

Steifigkeit der Mutternhalterung und der Montagestruktur

Die im Katalog angegebene Kugelmuttersteifigkeit beschreibt normalerweise die Kugelumlaufspindelmutter selbst. Es umfasst nicht automatisch die Verformung von:

• Mutterngehäuse
• Mutternbefestigungsflansch
• Verbindungsbolzen
• Beweglicher Tisch
• Festes -Endlagergehäuse
• Maschinenbasis

Eine dünne Mutternhalterung oder eine flexible Montageplatte kann zu einer stärkeren Verformung führen als die Kugelumlaufspindel selbst. Aus diesem Grund ist die gemessene Steifigkeit der montierten Achse häufig niedriger als ein Wert, der allein aus den Schrauben- und Mutterdaten berechnet wird.

Wenn die strukturelle Steifigkeit unbekannt ist, kann sie durch Finite-Elemente-Analyse geschätzt oder durch Aufbringen einer bekannten Axialkraft und Aufzeichnen der Verschiebung am Arbeitspunkt gemessen werden.

Arbeitsbeispiel: Vollständige Berechnung der axialen Steifigkeit

Das folgende Beispiel veranschaulicht die Berechnungsmethode. Bei den Werten handelt es sich eher um technische Beispiele als um Spezifikationen für ein bestimmtes DLY-Kugelumlaufspindelmodell.

• Axiale Arbeitskraft: 2.000 N
• Schrauben-Wellenwurzeldurchmesser: 20 mm
• Abstand vom Festlager zur Mutter: 800 mm
• Stahlmodul: 206.000 N/mm²
• Kugelmuttersteifigkeit: 300 N/μm
• Stütz-Lagersteifigkeit: 200 N/μm
• Montage-Steifigkeit der Struktur: 500 N/μm

Schritt 1: Berechnen Sie die Schraubenwellenfläche

A = π × 20² ÷ 4

A ≈ 314,16 mm²

Schritt 2: Berechnen Sie die Schrauben-Wellensteifigkeit

K_schrauben = 314.16 × 206,000 ÷ 800

K_schrauben≈ 80.896 N/mm

K_schrauben ≈ 80.9 N/μm

Schritt 3: Berechnen Sie die Verschiebung jeder Komponente

Schritt 4: Fügen Sie die elastischen Verschiebungen hinzu

δ_System = 24.72 + 6.67 + 10.00 + 4.00

δ_System ≈ 45.39 μm

Schritt 5: Berechnen Sie die äquivalente Systemsteifigkeit

1/K_System = 1/80.9 + 1/300 + 1/200 + 1/500

K_System ≈ 44.1 N/μm

Das Ergebnis kann überprüft werden:

δ = 2,000 ÷ 44.1 ≈ 45.35 μm

Der kleine Unterschied entsteht durch Rundung. Beide Methoden zeigen, dass sich das Gesamtsystem unter der Beispiellast um ca. 45 μm verformt.

Obwohl die Kugelmutter selbst eine Steifigkeit von 300 N/μm aufweist, beträgt die Steifigkeit des gesamten Vorschubsystems nur etwa 44 N/μm. In diesem Beispiel ist der lange Schraubenwellenabschnitt-die größte Quelle der elastischen Verschiebung.

Position-Abhängiger Fehler entlang des Strichs

Bei einer fest-gelagerten Kugelumlaufspindel nimmt die Steifigkeit der Spindel-welle ab, wenn sich die Mutter vom festen Lager entfernt. Unter konstanter Axialkraft:

δ_schrauben = F × L ÷ (A × E)

Da die Verschiebung proportional zur belasteten Länge ist, erzeugt dieselbe Kraft an verschiedenen Positionen unterschiedliche elastische Fehler.

Verwendung der Schraubenwelle aus dem vorherigen Beispiel:

Der Unterschied in der Wellenverformung zwischen der 200-mm- und der 800-mm-Position beträgt ungefähr:

24.72 − 6.18 = 18.54 μm

Dieser Unterschied kann als positionsabhängiger mechanischer Fehler auftreten, wenn die axiale Arbeitskraft in der gleichen Richtung bleibt.

Ein elastischer Fehler ist kein Spiel- oder Steigungsfehler

Mehrere unterschiedliche Fehler können sich auf eine Kugelumlaufspindelachse auswirken, sie sollten jedoch nicht kombiniert werden, ohne ihre Richtung und ihr Verhalten zu verstehen.

Ein hochauflösender Encoder kann diese mechanischen Effekte nicht beseitigen, es sei denn, das Rückkopplungssystem misst die endgültige Tischposition und die Steuerung kann den Fehler kompensieren.

Zur Unterscheidung zwischen befohlener Auflösung und tatsächlicher mechanischer Genauigkeit sieheBerechnung der Positionierungsauflösung der Kugelumlaufspindel.

Die thermische Ausdehnung kann den elastischen Fehler übersteigen

Die Berechnung der axialen Steifigkeit berücksichtigt kein thermisches Wachstum. Für eine nicht eingespannte Stahlschraubenwelle kann die thermische Längenänderung wie folgt geschätzt werden:

ΔL = × ΔT × L

Wo:

• = Wärmeausdehnungskoeffizient
• ΔT= Temperaturänderung
• L= effektive Schaftlänge

Ein üblicherweise verwendeter Wärmeausdehnungskoeffizient für Stahl beträgt ungefähr:

≈ 12 × 10⁻⁶/ Grad

Eine um 1 Grad ansteigende ein-Meter lange Schraube kann sich daher um etwa 12 μm verlängern. Die thermische Verschiebung muss getrennt von der durch die Belastung verursachten elastischen Verformung bewertet werden.

So verbessern Sie die Steifigkeit des Kugelumlaufspindelsystems

Erhöhen Sie den Durchmesser des Schraubenfußes

Die Schaftfläche der Schraube- ist proportional zum Quadrat des Wurzeldurchmessers. Ein größerer Fußdurchmesser kann die Wellensteifigkeit erheblich verbessern, erhöht jedoch auch die Rotationsträgheit und den erforderlichen Bauraum.

Reduzieren Sie die effektive Ladelänge

Ein kürzerer Abstand zwischen Festlager und Mutter erhöht direkt die Wellensteifigkeit. Achsenanordnung und feste-Endposition sollten daher frühzeitig bei der Maschinenkonstruktion berücksichtigt werden.

Wählen Sie eine geeignete Mutter und Vorspannung

Eine entsprechend vorgespannte Mutter kann das Umkehrverhalten und die Kontaktsteifigkeit verbessern. Die Vorspannung sollte entsprechend der tatsächlichen Axiallast, den Genauigkeitsanforderungen, der Betriebsgeschwindigkeit und dem Arbeitszyklus ausgewählt werden.

Erhöhen Sie die Stütz-Lagersteifigkeit

Verwenden Sie eine Festlageranordnung mit ausreichender axialer Steifigkeit und stellen Sie sicher, dass die Lagervorspannung, die Sicherungsmutter, der Wellenabsatz und der Gehäusesitz korrekt kontrolliert werden.

Stärken Sie die Mutternhalterung und die Maschinenstruktur

Eine Erhöhung der Steifigkeit der Kugelumlaufspindel bietet nur begrenzte Vorteile, wenn das Muttergehäuse oder die Lagermontageplatte flexibel bleibt. Die Verstärkung des gesamten Lastpfads kann effektiver sein, als nur die Schraubenspezifikation zu ändern.

Überlegen Sie sich die feste -feste Montage sorgfältig

A correctly designed fixed-fixed system can improve shaft rigidity, especially on long or high-speed axes. However, it requires appropriate bearing arrangements and careful control of thermal expansion and assembly preload.

Checkliste für praktische Berechnungen

1. Bestimmen Sie die maximalen und normalen axialen Arbeitskräfte.
2. Ermitteln Sie den Durchmesser des Schraubenwellenfußes aus der tatsächlichen Zeichnung.
3. Bestätigen Sie, ob die Endvereinbarung fest-unterstützt oder fest-fest ist.
4. Berechnen Sie die Wellensteifigkeit an den wichtigsten Mutterpositionen.
5. Ermitteln Sie die Steifigkeit der Kugelmutter unter den entsprechenden Vorspannungs- und Lastbedingungen.
6. Erhalten Sie axiale Steifigkeitsdaten für den Festlagersatz-.
7. Schätzen oder messen Sie die Steifigkeit von Mutter-, Halterung und Gehäuse.
8. Kombinieren Sie die Komponentensteifigkeitswerte mithilfe der Serien-Steifigkeitsgleichung.
9. Berechnen Sie die elastische Verschiebung unter jeder Betriebslast.
10. Bewerten Sie Spiel, Steigungsfehler und thermische Verschiebung separat.
11. Überprüfen Sie die montierte Achse durch geeignete Kraft- und Wegmessungen.

Abschluss

Die axiale Steifigkeit von Kugelgewindetrieben ist eine Systemeigenschaft und keine einzelne Katalognummer. Die Spindelwelle, die Kugelmutter, die Stützlager und die Montagestruktur verformen sich alle unter der axialen Kraft, und ihre Verschiebungen ergeben zusammen den endgültigen Positionierungsfehler.

Bei fest-gelagerten Baugruppen ändert sich die Steifigkeit der Schrauben-welle mit dem Abstand zwischen dem festen Lager und der Mutter. Bei festen -festen Baugruppen können die Wellenabschnitte auf beiden Seiten der Mutter zur Steifigkeit beitragen, wenn beide Enden eine wirksame axiale Begrenzung bieten.

Für eine zuverlässige Berechnung sollten der Durchmesser des Schraubenfußes, die tatsächliche Position der Mutter, die vom Hersteller-bereitgestellten Daten zur Muttern- und Lagersteifigkeit sowie die Steifigkeit der gesamten Montagestruktur verwendet werden. Steigungsgenauigkeit, Spiel und Wärmeausdehnung sollten dann separat bewertet werden.

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